几何分析专辑——Ricci 流初探

Ricci 流方程解的局部存在性，唯一性及基本恒等式

本文出自苏老师之手，小编打算好好学习一波，有兴趣的请关注

本节我们介绍Hamilton的Ricci流概念及其重要性质.由于主题庞大，我们只能不给证明地触及基本的要点.有兴趣的读者可参考相关参考文献以获取更多细节.

我们从介绍定义和记号开始.除非另有说明，一般地，表示完备紧(或非紧)Riemann流形，, 表示度量和Ricci曲率；分别是相应的梯度和Laplace-Beltrami算子；带或不带指标的代表一般的正常数，它们在不同式子之间的值可能不一样；如果度量随时间改变，则或将代表相应的距离函数；或者,或代表的体积元；我们将用或表示在度量下，以为心，半径为的测地球；表示按度量计算的体积.我们仍用, 分别表示的梯度和Laplace-Beltrami算子，在不会有混淆时不指明时间.

定义：设是Riemann流形，是区间上一族与时间有关的度量，令为相应的Ricci曲率，如果

则称是Ricci 流.

这个由Richard Hamilton 于1982年引进的方程组是退化的拟线性二阶抛物方程组. Hamilton 对于3维紧致流形证明了，如果初始度量的Ricci曲率为正，则Ricci流在有限时间内以一致方式产生奇点，通过仔细研究奇点的形成，他证明了具有正Ricci 曲率的3维紧致流形微分同胚于标准3维球.

我们以讨论Einstein流形上的Ricci流这个简单例子作为准备.

设是配备一族度量的Riemann流形，这族度量满足

这里，是常数，是由Ricci流确定的函数. 由于Ricci 曲率张量在伸缩变换下不改变，我们有

因此，Ricci 流方程化为

从而

如果, 则初始度量的Ricci 曲率为正, Ricci流在时出现奇性.而当 时， Ricci流在全部时间内都存在.

Ricci 流是度量的二阶弱抛物方程组.最初，Hamilton借助于Nash-Moser 隐函数定理对紧流形上的Ricci流证明了局部存在性和唯一性.然后，De Turck 给出了一个简单得多的证明. De Turck 通过用一族与时间有关的微分同胚将Ricci 流转化为严格抛物方程组. 而通常的严格抛物方程组理论蕴含转化后的方程组和原来的Ricci流的存在性和唯一性.在非紧情形，施皖雄证明了曲率算子有界的流形上的Ricci流的局部存在性.陈兵龙和朱熹平在相同条件下证明了唯一性.田刚和吕鹏各自独立地证明了上径向对称度量的非紧Ricci 流的唯一性,即Ricci流标准解的唯一性.我们将这些结果总结为下面三个定理.

定理  设是紧Riemann流形，则存在常数,是的Ricci流的初值问题

在上有唯一光滑解.

证明：我们将证明分成三步.

第一步，构造修改后的Ricci流对应的严格抛物方程组.

仿照De Turck的做法，考虑抛物方程组，它在与时间无关的局部法坐标系下可写成

上述方程组中各项的定义如下：

(i)是关于下列向量场的Lie导数：

(ii)和分别是的Ricci曲率和Christoffel符合.

(iii)是初始度量的Christoffel符号.

下面证明(2)是度量的严格抛物方程组.

对向量场,，成立

因此，在局部坐标系下，有

这里， 代表关于的对偶1-形式的协变导数的第个分量，即的第个分量，其中, .

(4)右端的主项是那些含度量的二阶导数的项，在局部坐标系下，利用下面的局部公式将它们写出来：

因为

从而

此处及以后证明中的低阶项是那些至多包含的一阶导数的项.

利用(3)知，

从而

将指标改为, 并将 互换, 得

结合 (5),得

因此，  (4)可写为

从而，(2)是半线性严格抛物方程组.标准的抛物方程组理论表明， (2)至少在短时间内有光滑解.

第二步，证明修改后的方程组的解通过一族微分同胚产生最初的Ricci流的解.

 令为(2)的光滑解，用方程

定义一族微分同胚 , 其中是 (3)中定义的向量场.注意，对上的光滑函数以及 点,有

我们证明度量

是最初的Ricci流方程的解.由于 ,计算得

另一方面，

因此这就证明了最初的Ricci 流的短时间存在性.

第三步， 证明唯一性.

首先，注意上述过程可逆.即若是Ricci流的解，则 是(2)的解.

为证明这个断言，我们只需要说明在度量下，构造的方程有段时间的光滑解. 这可在局部坐标系下方便地做到.令 是第一步中给出的与时间无关的法坐标系，假设由

给出，令 为已给出的的Christoffel符号,则由常规的计算，的Christoffel符号为

由第一步的构造

由于对任何光滑函数, . 因此

由此， (6)可以写为

注意， 这里 , 且 . 因此， (6)是拟线性严格抛物方程组，有唯一的短时间光滑解.

上面定理中的度量称为初始度量，有时需要适当伸缩度量，使其称为规范度量. 下面我们就来定义规范度量.

定义（规范度量和规范流形）：Riemann流形上的度量称为规范度量，如果 处处成立且每个单位球的体积至少是欧式单位球体积的一半. 配备规范化度量的Riemann流形称为规范流形.

显然，总可以用一个较大的数乘以紧流形上的度量，使得配备放大了的度量的流形是一个规范流形.

下面两个定理将上面的Ricci流的存在性和唯一性的结果推广到了某些非紧流形上.

定理：  设为曲率张量有界的完备非紧Riemann 流形，则存在常数,使得Ricci流的初值问题

在上有曲率张量一致有界的光滑解.

定理：[陈兵龙-朱熹平]    上述定理中的解是唯一的.

由于一些技术性问题，像控制曲率和单射半径等几何量在无穷远附近的性质,这两个定理的证明非常长.读者可以参考原始论文以获知证明的基本细节.

在下一命题中，我们将总结R.Hamilton所证明的一些公式，这些公式描述了几何量沿Ricci流的演变.

命题：  设为Ricci流，则下述结论成立

(i)令 为相对于的数量曲率，则

(ii)令为相对于的体积元，则

(iii)令, 且为在度量下的距离.假设距离是的光滑函数，则

这里是对所有连接的在度量下以弧长为参数的最小测地线而取，且.

(iv)设为在与时间无关的局部坐标下的Christoffel符合, 则

(v)设为的曲率张量在与时间无关的局部坐标下的分量,则

这里

是Ricci曲率，而是关于的Laplace算子，即

(vi)设 是Ricci曲率.

(vii)对任何上的光滑函数 , 有

证明：在局部坐标系下，所有这些公式都能从Ricci 流方程直接推出

(i) 可参见(vi)的证明

(ii)在与时间无关的局部法坐标中，

则直接计算可得

(iii) 略

(iv)对固定的时间 和点, 令为在 下的局部法坐标系.对在的一个小邻域中的, 可以写成如下形式：

注意，算子与时间无关.因此，上式对时间求导得

由Ricci流方程，上式化为

接下来，取, .在局部法坐标系的中心处，均为零.因此,在处,

因此，在处，

结论成立.

(v)我们再次假设下述所有计算都是在以固定点为中心的局部法坐标系下进行的.在该固定点处，.因此，对任何张量的偏导数与协变导数一样.

由于

因此，

根据(iv),上式可化为

这里，为简化计算，我们用记号来表示二阶协变导数.将上式最后一个等式右端的第一项和第四项合在一起，并利用Ricci恒等式，得

由曲率张量Rm的反对称性.上式化为

下面计算 . 根据第二Bianchi恒等式,得

下面交换右端的求导顺序.实际上，根据Ricci恒等式，并利用，得

因此，

由第二Bianchi恒等式

将上面两个等式合起来，得

互换上式中的和, 又得

利用对称性，有

因此

由上式以及之前关于的计算，便得曲率的演变公式.

(vi) 我们要推导Ricci 曲率张量的演变公式.由(v)开始部分的计算，知

这里，我们仅仅用到 .再由Ricci恒等式，知

互换上式中的和,得到

综合上面两个等式，并利用缩并两次后的Bianchi恒等式得

这里利用了下面事实：, 它的证明可以利用对称性及重排指标得到. 因此

这就证明了(vi).

(i)中数量曲率的发展方程直接从(vi)得到，实际上，

这里，最后一个等式是通过取而得.

(vii) 利用(vi)中一样的局部坐标系， 根据

这里 ，且 . 对微分，得

由于, 且由(ii)知， . 我们得

当时，在法坐标系的中心处， 且 . 因此

在和处，由Bianchi恒等式的缩并形式，得

因此，

通过适当选取随时间变动的局部坐标系，曲率张量和Ricci曲率的发展方程可以显著简化. 这个方法被称为Uhlenbeck技巧,下面介绍此技巧.

命题：  令为与时间无关的局部坐标系.假设为满足方程

的光滑函数，这里满足Ricci流方程.定义向量场

则下述性质成立：

(i)假设在时，是关于的单位正交标架，则在时， 是关于的单位正交标架.

(2)拉回度量的局部表示式

与时间无关.

(iii), 这里

(iv)

标架称为演变的单位正交标架. 我们将用记此标架下的曲率张量的分量.

命题：  在演变的单位正交标架下，曲率张量和Ricci曲率张量的发展方程分别为

其中

注：由于标架是单位正交的，因此，在做求和时候没有上升或下降指标.

曲率张量的发展方程可按下述方式进一步简化.

令为上的切丛, 是上的2-形式向量丛, 上配备固定度量：对

这里和分别是在标架下和的反对称矩阵表示. 向量丛可看做Lie括号

的Lie代数. 令为在度量下的单位正交基,则存在, 使得

我们将曲率张量看做上的对称双线性型，定义为

令 ,记

这等价于. 因此，曲率张量也可以看做上的对称算子.

定义：由

定义的算子称为曲率算子.

我们有下述命题.

命题：令, 则在Ricci流下，

其中为算子的平方，而

为Lie代数的平方.

证：我们的出发点是

利用第一Bianchi恒等式和(7),我们有

又注意到

因此

且

接下来，互换某些求和指标，得

再利用(8)我们有

从而

则

综上所述，命题得证.

在三维情形，上述命题有很好的形式.

推论：如果是3维流形，则

其中是的伴随矩阵.

下面属于Perelman的结果与距离函数在Ricci流下所满足的微分不等式有关，其中第一个可看做是经典Laplace比较定理依赖于时间的版本. 有趣的是，由于Ricci流引起的相互抵消，它比经典的情形要求更少的假设.在做时空局部化时，这两个不等式非常有用.在叙述结果前，我们先约定要用到的记号.令为Ricci流， 且,则表示在度量 下，以为心，为半径的测地球.

命题：  令 是维流形上的Ricci流，, 且是Ricci流的某一时刻.

(i)假设对正常数和, 在上成立，则在时刻和之外，距离函数在弱意义下满足不等式

(ii)假设对,在 上成立，则在时刻，有

如果距离函数不可微,则左端理解为向前差商.

证明：  (i)我们仅假设不是的割点，因此关于光滑. 如果是的割点，只需要应用熟知的Calabi技巧变得所要的不等式在弱意义下成立.

因为

其中, 向量场按下述方式定义. 令 为在度量下连接和的以弧长为参数的最短测地线.定义并且选取,使得 构成的一组基. 将上述基平行移动得 的单位正交基 . 最后， 是沿的Jacobi场,满足 , 且 .

我们注意到(9)的右端是指标形式的和.由于是Jacobi场，指标定理表明 ，其中

因此，

这里用到当时， 为单位正交基这个事实.因此，当时， . 这就证明了(i)中的不等式.

(ii)证明类似于(i)的证明.我们需要根据和间的距离将证明分为三种情况. 不知一般性，假设不是的割点，为连接和的以弧长为参数的最短测地线.

情形1 .

此时，我们定义向量场 为

由于，测地线是最短的，故由距离的第二变分公式知 , 即

其中.由此 及 , 得

因此，

情形2

我们只需要将情形1中的换为(小于), 并重复其中的证明.

情形3

证明几乎是平凡的:

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